Exercices Primitives et équations différentielles

$f$ est une fonction définie, continue et dérivable sur $\mathbb R$.
On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$.
$f$ admet des primitives et on note $F$ la primitive de $f$ qui s’annule en $0$.

Question 1

On a représenté dans le repère orthonormé ci-dessous deux courbes $\mathscr C_1$ et $\mathscr C_2$.

• Les deux courbes se coupent en $O$, l’origine du repère.
• Le point $S$ est le point de la courbe $\mathscr C_2$ qui a la plus grande ordonnée ; il a pour abscisse $x_0$.
• Les points $A$ et $B$ placés respectivement sur $\mathscr C_2$ et $\mathscr C_1$ ont la même abscisse $x_1$.

• L’une des courbes représente la fonction $F$ et l’autre la fonction $f$.

Associer chaque courbe à la fonction qu’elle représente ; justifier la réponse.

Question 2

La fonction $f$ est une solution de l’équation différentielle :

$$(E): y^{\prime}+y=-6x-4$$

• L’objectif de cette question est de déterminer la fonction $f$.
• Vérifier que la fonction $g$, définie sur $\mathbb R$ par $g(x)=-6x+2$, est une solution de l’équation $(E)$.
  La fonction $f$ est-elle égale à la fonction $g$ ? Justifier.
• Déterminer l’ensemble des solutions de l’équation différentielle :

$$(E_0): y^{\prime}+y=0$$

• Démontrer que la fonction $f-g$ est une des solutions de l’équation $(E_0)$.
  En déduire que, pour tout réel $x$, $f(x)$ peut s’écrire sous la forme :

$$f(x)=-6x+2+k \text{e}^{-x} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $k\in\mathbb R$]}}}$$

• Trouver la valeur de $k$ et donner l’expression de $f(x)$ pour tout réel $x$.

Question 3

• Calculer $f^{\prime}(x)$ pour tout $x$ appartenant à $\mathbb R$.
• En déduire l’abscisse $x_0$ du point $S$ placé sur le graphique à la question 1.
  Quelles sont les coordonnées du point $S$ ?
• Donner sans justification le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\mathbb R$.
  On pourra s’aider du graphique pour les variations et les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$. On placera aussi dans le tableau le réel $x_0$ et son image.

Question 4

On rappelle que $F$ est la primitive de $f$ qui s’annule en $0$.

• Prouver que l’ensemble des primitives de $f$ sont les fonctions :

$$P_f (x)=-3x^2+2x+2 \text{e}^{-x}+C \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [où $C\in\mathbb R$]}}}$$

• En déduire l’expression de $F$ sur $\mathbb R$.