Exercices Fonction logarithme népérien (ln)

On note $x$ l’intensité sonore d’un bruit, mesurée en watt par mètre carré ($\text{W}\cdot \text{m}^{-2}$).

• Par exemple, la plus petite intensité perçue par un être humain est $x_0=10^{-12}\ \text{W}\cdot \text{m}^{-2}$ et l’intensité sonore produite par une moto qui roule est $10^{-5}\ \text{W}\cdot \text{m}^{-2}$.

Le niveau sonore en décibel ($\text{dB}$) s’exprime pour tout $x\geq x_0$ par :

$$L(x)=\dfrac {10}{\ln{(10)}} \times \ln\left(\dfrac x{x_0}\right)$$

Question 1

Calculer $L(x_0)$, puis $L(10^{-5})$.
Donner une interprétation concrète de ces résultats.

Question 2

Exprimer $L(2x)$ en fonction de $L(x)$.
Si l’intensité sonore est doublée, comment évolue le niveau sonore ?

Question 3

Exprimer $L(10x)$ en fonction de $L(x)$.
Si on multiplie l’intensité sonore par $10$, comment évolue le niveau sonore ?

Question 4

Un niveau sonore supérieur à $85\ \text{dB}$ constitue un risque pour l’audition humaine.
Déterminer l’intensité sonore à partir de laquelle un bruit est dangereux pour l’oreille.

On considère les deux fonctions :

$$\begin{aligned} f:x&\mapsto \ln{(4-x^2)} \\ g:x&\mapsto \ln{(x+2,5)}+\ln{(2)} \end{aligned}$$

Question 1

Déterminer le domaine de définition de la fonction $f$, puis le domaine de définition de $g$.

Question 2

On cherche à résoudre $f(x)=g(x)$.
Sur quel intervalle cette égalité a-t-elle un sens ?

Question 3

On suppose que $x\in\ ]-2\ ;\, 2[$.
Montrer l’égalité :

$$\ln{(4-x^2)}-\ln{(x+2,5)}- \ln{(2)}=\ln\left(\dfrac {4-x^2}{2x+5}\right)$$

Puis résoudre $f(x)=g(x)$.

Question 4

Quelles sont les coordonnées du ou des points d’intersection des courbes $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$ ?